题目
在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点E.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.一次函数y=-x+m的图象过点C,交y轴于D点.
(1)求点C、点F的坐标;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
(1)求点C、点F的坐标;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
提问时间:2020-08-02
答案
(1)令y=0,则x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∵点A在点B的左侧,
∴A(-3,0),B(1,0),
∵点C是点A关于点B的对称点,
∴C(5,0),
∵F是线段BC的中点,
∴F(3,0);
(2)∵一次函数y=-x+m的图象过点C(5,0)
∴-5+m=0,
解得,m=5,
∴CD的解析式是y=-x+5,
设K点的坐标是(t,0),则H点的坐标是(t,-t+5),G点的坐标是(t,t2+2t-3),
∵K是线段AB上一动点,∴-3≤t≤1,
HG=(-t+5)-(t2+2t-3),
=-t2-3t+8,
=-(t+
)2+
,
∵-3≤-
≤1,
∴当t=-
时,线段HG的长度有最大值是
;
(3)∵A(-3,0),C(5,0),
∴AC=5-(-3)=5+3=8,
∵直线l过点F且与y轴平行,
∴直线l的解析式是x=3,
∵点M在l上,点N在抛物线上,
∴设点M的坐标是(3,m),点N的坐标是(n,n2+2n-3).
①若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边,则须MN∥AC,MN=AC=8,
(i)当点N在点M的左侧时,MN=3-n,
3-n=8,解得n=-5,
n2+2n-3=(-5)2+2×(-5)-3=25-10-3=12,
所以,N点的坐标是(-5,12);
(ii)当点N在点M的右侧时,NM=n-3,
n-3=8,解得n=11,
n2+2n-3=112+2×11-3=121+22-3=140,
所以,N点坐标是(11,140);
②若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线,由题意可知,点M与点N关于点B中心对称,
∵点M的横坐标为3,点B(1,0),
∴点N的横坐标为-1,
n2+2n-3=(-1)2+2×(-1)-3=1-2-3=-4,
所以,N点坐标是(-1,-4),
综上所述,符合条件的N点坐标有(-5,12),(11,140),(-1,-4).
解得x1=-3,x2=1,
∵点A在点B的左侧,
∴A(-3,0),B(1,0),
∵点C是点A关于点B的对称点,
∴C(5,0),
∵F是线段BC的中点,
∴F(3,0);
(2)∵一次函数y=-x+m的图象过点C(5,0)
∴-5+m=0,
解得,m=5,
∴CD的解析式是y=-x+5,
设K点的坐标是(t,0),则H点的坐标是(t,-t+5),G点的坐标是(t,t2+2t-3),
∵K是线段AB上一动点,∴-3≤t≤1,
HG=(-t+5)-(t2+2t-3),
=-t2-3t+8,
=-(t+
3 |
2 |
41 |
4 |
∵-3≤-
3 |
2 |
∴当t=-
3 |
2 |
41 |
4 |
(3)∵A(-3,0),C(5,0),
∴AC=5-(-3)=5+3=8,
∵直线l过点F且与y轴平行,
∴直线l的解析式是x=3,
∵点M在l上,点N在抛物线上,
∴设点M的坐标是(3,m),点N的坐标是(n,n2+2n-3).
①若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边,则须MN∥AC,MN=AC=8,
(i)当点N在点M的左侧时,MN=3-n,
3-n=8,解得n=-5,
n2+2n-3=(-5)2+2×(-5)-3=25-10-3=12,
所以,N点的坐标是(-5,12);
(ii)当点N在点M的右侧时,NM=n-3,
n-3=8,解得n=11,
n2+2n-3=112+2×11-3=121+22-3=140,
所以,N点坐标是(11,140);
②若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线,由题意可知,点M与点N关于点B中心对称,
∵点M的横坐标为3,点B(1,0),
∴点N的横坐标为-1,
n2+2n-3=(-1)2+2×(-1)-3=1-2-3=-4,
所以,N点坐标是(-1,-4),
综上所述,符合条件的N点坐标有(-5,12),(11,140),(-1,-4).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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