题目

已知实数a满足a≤-1，函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．
（1）当a=-3时，求f（x）的极小值；
（2）若g（x）=2x³+3（b+1）x²+6bx+6（b∈R）的极小值点与f（x）的极小值点相同，证明：g（x）的极大值大于等于7．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）当a=-3时，f（x）=e^x（x²-3x+1）．
f′（x）=e^x（x²-3x+1）+e^x（2x-3）
=e^x（x²-x-2），
令f′（x）=0得x²-x-2=0
f′（x）=x²-x+2=（x+1）（x-2）．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以，f（x）的极小值为f（2）=-e²．
（2）f′（x）=e^x（x²+ax+1）+e^x（2x+a）
=e^x[x²+（a+2）x+（a+1）]，
令f′（x）=0得x²+（a+2）x+（a+1）=（x+1）（x+a+1）=0，由于实数a满足a≤-1，
所以f（x）的极小值点x=-（a+1），则g（x）的极小值点也为x=-（a+1），
而g（x）=2x³+3（b+1）x²+6bx+6，g′（x）=6x²+6（b+1）x+6b=6（x+1）（x+b），
所以a+1=b，
即b=a+1．
又因为a≤-1，∴b≤0
所以g（x）_极大值=g（-1）=-2+3（b+1）-6b+6=-3b+7≥7．
故g（x）的极大值大于等于7．