题目

已知函数f（x）=3x²-6x-5．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）设g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在区间[l，3]上的最小值；
（3）若对于任意的a∈[1，2]，关于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b在区间[1，3]上恒成立，求实数b的取值范围．

提问时间：2020-08-02

答案

（1）不等式 f（x）＞4
即3x²-6x-9＞0
解得x＞3，或x＜-1
∴不等式 f（x）＞4的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞）
（2）g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5
其图象是开口朝上，且以x=

6−m

2

为对称轴的抛物线
当

6−m

2

＞3，即m＜0时，g（x）的最小值为g（3）=3m-14
当1≤

6−m

2

≤3，即0≤m≤4时，g（x）的最小值为g（

6−m

2

）=

−m2+12m−56

4

当

6−m

2

＜1，即m＞4时，g（x）的最小值为g（1）=m-10
（3）若不等式f（x）＜x²-（2a+6）x+a+b在x∈[1，3]上恒成立，
即不等式2x²+2ax-5-a-b＜0在x∈[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+2ax-5-a-b
∵a∈[1，2]，故h（x）图象的对称轴x=-

a

2

∈[-1，-

1

2

]
∴当x=3时，函数h（x）取最大值5a-b+13
故只须a∈[1，2]时，5a-b+13≤0恒成立即可；
即当a∈[1，2]时，b≥5a+13恒成立，
∴实数b的取值范围是[23，+∞）