题目

如何从普朗克黑体公式推导出 韦恩位移公式来

提问时间：2020-08-01

答案

B(λ,T)=8πhc/{λ^5*[e^(hc/λKT)-1]}
先求B(λ,T)的最大值,也就是说求λ5*[e^(hc/λRT)-1]的最小值
对λ^5*[e^(hc/λKT)-1]求导可以得到(对λ求导):
5λ^4*[e^(hc/λKT)-1]+λ^5*e^(hc/λKT)*(hc/KT)(-1/λ^2)=0
化简可得:
5λ*[e^(hc/λKT)-1]-hc/(KT)*e^(hc/λKT)=0
最后可得:
e^(-hc/KTλ)+1/5*hc/KTλ=1
令:hc/KTλ=x
方程可以化为:
e^(-x)+1/5*x=1
解出,x=4.965
就是说,hc/KTλ=4.965
所以,Tλ=hc/(K*4.965)=0.2041hc/K=b(韦恩常量)
这里的波长λ就是使得B(λ,T)最大的波长.
所以,韦恩位移公式就是:
λmax*T=b=0.2041hc/K
说明:h表示普朗克常量,c表示真空中光速,K(应该是KB)表示玻尔兹曼常数.