题目

已知椭圆x²/16+y²/4=1的焦点为F1,F2,抛物线y2=2px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为Q,
若∠F1QF2=60°.
（1）求△F1QF2的面积.
（2)求此抛物线的方程.

提问时间：2020-08-01

答案

椭圆x²/16+y²/4=1
（1）Q在椭圆上,|QF1|+|QF2|=8
|QF1|^2+2|QF1|*|QF2|+|QF2|^2=64.(1)
在△QF1F2中,∠F1QF2=60
|QF1|^2|+|QF2|^2-2|QF1|*|QF2|cos60°==|F1F2|^2=48.(2)
.(1)-.(2)
|QF1||QF2|=16/3
S△F1QF2的面积=1/2|QF1||QF2| *sin60=1/2*16/3/*√32=4/3*√3
设Q（x0,）,（x0＞0,y0＞0）
由（1）知S△F1QF2=1/2|QF1||QF2|*y0=4/3*√3
|F1F2|=2c=2*√(16-4)=4√3
y0=2/3,Q点在椭圆上
x0²/16+(2/3)²/4=1
x0=8/3*√3
Q(8/3*√3,2/3),又Q点在抛物线上
(2/3)^2=2p8/3*√3
p=√3/36
抛物线的方程:y2=√3/18x