题目

1.等差数列{an}前n项和为Sn,①S4≥10,S5≤15,求a4最大值；②a(2n)/an=(4n-1)/(2n-1),求S20/S10；
2.设{an}前n项和为Sn,a1=1,S(n+1)=4an+2
(1)设bn=a(n+1)-2an,证{bn}为等比数列
（2）求an

提问时间：2020-07-31

答案

题目难度不大,主要考查基本概念及应用,不需高手出马.
1.(1)∵S4≥10 ∴a2+a3≥5 ①
∵S5≤15 ∴a3≤3 ②
a4=2*a3-a2
3*②- ①得2*a3-a2≤4
即a4的最大值为4（此时通项公式an=n）
(2)∵a(2n)/an=(4n-1)/(2n-1),{an}为等差数列},则a2/a1=3,a2=3a1,d=2a1,an=(2n-1)a1
∴S20=10(a1+a20)=10(a1+39a1)=400a1,S10=5(a1+a10)=100a1
∴S20/S10=4
2.(1)∵S(n+1)=4an+2
Sn=4a(n-1)+2
∴a(n+1)=S(n+1)-Sn=4an-4a(n-1)
∴a(n+1)-2an=2(an-2a(n-1)) 即b(n+1)=2*b(n)
∴{bn}为等比数列
(2)由已知有a1=1,S2=4+2=6,从而a2=5,故b1=a2-2a1=3
∵b(n+1)=2*b(n）（由（1））
∴bn=3*2^(n-1)
即a(n+1)=2an +3*2^(n-1)
∴a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=3/4
从而{an/2^n}是首项为a1/2=1/2,公差为3/4的等差数列故an/2^n=1/2+3(n-1)/4=(3n-1)/4
∴an=(3n-1)*2^(n-2)
.本题既然已经构造好了数列,就不必使用大学教材中的特征方程.