题目

四面体ABCD中，AC=BD，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝

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AC，∠BDC=90°，求证：BD⊥平面ACD．

提问时间：2020-07-31

答案

证明：取CD的中点G，连接EG，FG，∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EG

∥

.

1

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AC；FG

∥

.

1

2

BD，又AC=BD，∴FG＝

1

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AC，
∴在△EFG中，EG2+FG2＝

1

2

AC2＝EF2
∴EG⊥FG，∴BD⊥AC，又∠BDC=90°，即BD⊥CD，AC∩CD=C，
∴BD⊥平面ACD．

欲证BD⊥平面ACD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面ACD内两相交直线垂直，取CD的中点G，连接EG，FG，根据勾股定理可证得EG⊥FG，又BD⊥CD，AC∩CD=C，结论得证．

本题考点：直线与平面垂直的判定．

考点点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．