题目

已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

提问时间：2020-07-31

答案

（Ⅰ）当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），
∵y=f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-（（-x）²-2（-x））=-x²-2x，
∴f(x)＝

x2−2x −x2−2x

x≥0 x＜0

．
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，最小值为-1；
∴当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²-2x=1-（x+1）²，最大值为1．
∴据此可作出函数y=f（x）的图象，根据图象得，
若方程f（x）=a恰有3个不同的解，则a的取值范围是（-1，1）．

（Ⅰ）利用函数的奇偶性，利用对称性，写出函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数f（x）的表达式，利用数形结合的思想求a的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根的个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．