题目

设函数f（x）=

ex

x

，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1-x）f（x）＞0的解集．

提问时间：2020-07-31

答案

（1）∵f（x）=

ex

x

∴f′(x)＝−

1

x2

ex+

1

x

ex＝

x−1

x2

ex
由f'（x）=0，得x=1，
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（-∞，0），（0，1]
（2）由f'（x）+k（1-x）f（x）=

x−1+kx−kx2

x2

ex=

(x−1)(−kx+1)

x2

ex＞0，
得：（x-1）（kx-1）＜0，
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜

1

k

}；
当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|

1

k

＜x＜1}．

（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．（2）将f'（x）代入不等式即可求解．

本题考点：函数的单调性及单调区间；简单复合函数的导数；不等式．

考点点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．