题目

高中【复数】的题目.帮忙啊.
1.设复数Z满足（1-Z）/（1+Z）=i,求|Z+1|的值.
2.若复数Z满足Z=(1+ti)/(1-ti) ,求Z所对应的点Z的轨迹方程.
3.设Z属于C且|Z|=2,则
（1）复数3Z对应的点位于什么位置.
（2）复数3Z+1对应的点位于什么位置.
（3）求|3Z+1|的最大值与最小值.
4.已知Z是虚数,且Z+1/Z是实数,求证（1）|Z|=1；（2）（Z-1）/（Z+1）是纯虚数.
5.设复数Z满足|Z|^2-2|Z|-3=0,求复数Z在平面内对应的点的轨迹.
能做几题做几题吧.最好有过程!谢谢了啊~~

提问时间：2020-07-31

答案

1.由（1-Z）/（1+Z）=i两边平方则有,（1-Z）^2/（1+Z）^2=-1
即（1-Z）^2+（1+Z）^2=0,也即是2+2Z^2=0,可解得Z=-i(Z=i代回(1-Z）/（1+Z）=-i不合题意,舍去)
故|Z+1|=|-i+1|=根号2
2.Z=(1+ti)/(1-ti)=1+t^2,为一抛物线方程.
3.依题意,Z属于C且|Z|=2,则C位于复数坐标轴以原点为圆心,半径R=|Z|=2的圆上.
故（1）复数3Z对应的点位于复数坐标轴以原点为圆心,半径R=3|Z|=6的圆上.
（2）复数3Z+1对应的点相当于把圆心从原点平移到（1.0） ,以（1.0）为圆心,半径R=3|Z|=6的圆上.
（3）在（2）的基础上,我们可以知道|3Z+1|的最大值与最小值：
|3Z+1|的最大值=1+6（半径）=7,最小值=6-1=5.
注：|3Z+1|代表圆上的点到圆点的距离.
4.Z是虚数,则设Z=a+bi,Z+1/Z=(a+bi+1)/(a+bi)=(a+bi+1)*(a-bi)/(a+bi)*(a-bi)=(a^2+b^2+a-bi)/(a^2+b^2)但本人得出的是b=0.不清楚是不是本人算错了,所以下面本人没法继续求解.
.万分抱歉
5.由|Z|^2-2|Z|-3=0得,(|Z|-3)(|Z|+1)=0,由于|Z|≥0,则|Z|=3
则复数Z在平面内对应的点的轨迹为原点为圆心,半径R=|Z|=3的圆上.