题目

已知二次函数f（x）=x²-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．

提问时间：2020-07-31

答案

（1）当方程x²-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有两个相等的实根时，
△=（m-1）²-8m=0且0＜

m−1

2

＜1，此时无解．
（2）当方程x²-（m-1）x+2m=0有两个不相等的实根时，
①有且只有一根（[0，1）上时，有f（0）f（1）＜0，即2m（m+2）＜0，解得-2＜m＜0，
②当f（0）=0时，m=0，f（x）=x²+x=0，解得x₁=0，x₂=-1，符合题意．
③f（1）=0时，m=-2，方程可化为x²+3x-4=0，解得x₁=1，x₂=-4，符合题意，
综上可得，实数m的取值范围为：[-2，0]