题目

已知过点A（0,1）的直线l,斜率为k,与圆C：（x-2）^2+(y-3)^2=1相交于M、N两个不同点.
1）求实数k取值范围.
2）若O为坐标原点,且向量OM*向量ON=12.求k的值.

提问时间：2020-07-30

答案

（1）直线l的方程为y-1=kx,即y=kx+1,带入（x-2）^2+(y-3)^2=1并整理得（k^2+1)x^2-(4+4k)x+7=0,
∴△=[-（4+4k）]^2-4•7•（k^2+1)=-4(3k^2-8k+3)＜0,
解得k＜三分之（4+√7）或k>三分之（4-√7）
(2) 设M(x,y),N(m,n),
则向量OM=（x,y）,向量ON=(m,n)
且x+m=（k^2+1)分之（4+4k),xm=（k^2+1)分之7
∵向量OM*向量ON=xm+ny=12,且ny=(km+1)(kx+1)=(k^2)mx+k(m+x)+1
∴(k^2+1)mx+k(m+x)+1=12即7+（k^2+1)分之（4k+4k^2)+1=12,解得k=1