题目

设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]上的值域为[-2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为 ___ ．

提问时间：2020-07-30

答案

g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）
函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]（正好是一个周期区间长度）的值域是[-2，5]…（1）
令x+1=t，
当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[-1，6]…（2）
同理，令x+2=t，
在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]
此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）=[x+g（x）]+2
所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（3）
由已知条件及（1）（2）（3）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[-2，7]
故答案为：[-2，7]．