题目

就是那道复数域上的矩阵的证明那道

提问时间：2020-07-29

答案

1.复域上的方阵都相似于一个Jordan形方阵(证明可见线性代数课本),就是说,A代表的线性变换对某个基的矩阵是Jordan形矩阵.Jordan形矩阵是下三角的,而题目所要求的矩阵是上三角的,因此考虑对A的Jordan标准型做一些变换.事实上,我们只要把A的Jordan标准型所对应的基的顺序调转就可以了.基调转顺序以后还是基,而A关于这个基的矩阵是上三角的.你也可以这样理A相似于一个Jordan形方阵,即存在可逆矩阵C,使A=C^(-1)*J*C,其中J为A的Jordan标准形.引入矩阵D,规定D的副对角线上的元素为1,其余元素为0,令E=D*J*D^(-1),则
A=C^(-1)*D^(-1)*E*D*C,其中,E是上三角阵.
2.A在某个基上的矩阵是Jordan形矩阵,所以研究A其实只需要研究它的Jordan标准型就可以了.设J是A的Jordan标准型,则存在可逆方阵C,使得A=C^(-1)*J*C,那么A^k=C^(-1)*J^k*C,进一步,如果f(x)是多项式函数,那么f(A)=C^(-1)*f(J)*C,即f(A)相似于f(J),故f(A)与f(J)有相同的特征值.现在考虑J^k.J是下三角阵,计算可知,它的k次幂也是下三角阵(昨天写成了Jordan阵,不好意思),而且,J^k的每个对角元正是J对应对角元的k次幂,进一步,它的多项式函数还是下三角阵,即f(J)为下三角阵,而且f(J)的对角元正是J对应对角元的多项式函数,也就是f(λ1),f(λ2),...,f(λn).现在求f(J)的特征值,f(J)下三角,所以它的特征多项式容易计算,而且由于它的对角元是
f(λ1),f(λ2),...,f(λn),所以它的特征多项式不可能有f(λ1),f(λ2),...,f(λn)以外的根,也就是说f(A)的全部特征值就是f(λ1),f(λ2),...,f(λn).