题目

以T为周期的连续函数f（x)证明：∫(a+T,a)f(x)dx=∫(T,0）f(x）dx,
我的证明方法是令x=t+a,当x=a时t=0,当x=a+T时,t=T,dx=dt,则
原式可化为
∫(T,0）f(t+a)dt=∫（T,0)f(x+a)dx,,这是怎么回事,要证的没证出来,反而得了一个这样的式子,这个式子正确吗,我的步骤都写对了啊,怎么会不正确呢,求解释这个式子,到底正不正确.

提问时间：2020-07-28

答案

这个式子是对的,由于f(x)是以T为周期,因此在一个周期内函数所围的曲边梯形面积肯定是相同的所以你得出这个结论并不奇怪,只是这样可能证不出结论.
本题如果用换元法,应该这样证明
∫[a→a+T] f(x)dx
=∫[a→0] f(x)dx + ∫[0→T] f(x)dx + ∫[T→a+T] f(x)dx
然后通过换元证明第一项和第三项正好抵消.
下面提供一个更简单的证法：
将a看作变量,令g(a)=∫[a→a+T] f(x)dx
则：g'(a)=f(a+T)-f(a)=0,因此g(a)与a无关,则g(a)=g(0)
即∫(a→a+T)f(x)dx=∫(0→T）f(x）dx
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