题目

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率=√6/3,过右焦点的直线斜率为一,交椭圆于AB两点
若|AB|=根号3求b值.

提问时间：2020-07-27

答案

∵e＝c/a＝√6/3,∴c^2/a^2＝6/9＝2/3,∴（a^2－b^2）/a^2＝2/3,∴1－b^2/a^2＝2/3,
∴b^2/a^2＝1/3,∴a^2＝3b^2.
∴c^2/a^2＝c^2/（3b^2）＝2/3,∴c^2＝2b^2,∴c＝√2b.
显然,AB的方程是：y＝x－c.
联立：y＝x－c、x^2/a^2＋y^2/b^2＝1,消去y,得：x^2/a^2＋（x－c）^2/b^2＝1,
∴x^2/（3b^2）＋（x－c）^2/b^2＝1,
∴x^2＋3（x－c）^2＝3b^2,
∴x^2＋3x^2－6cx＋3c^2＝3b^2,
∴4x^2－6√2x＋6b^2＝3b^2,
∴4x^2－6√2x＋3b^2＝0.
∵A、B在直线y＝x－c上,∴可分别令A、B的坐标是（m,m－c）、（n,n－c）.
很明显,m、n是方程4x^2－6√2x＋3b^2＝0的两根,
∴由韦达定理,有：m＋n＝3√2/2、mn＝3b^2/4.
依题意,有：｜AB｜＝√3,∴｜AB｜^2＝3,∴（m－n）^2＋［（m－c）－（n－c）］^2＝3,
∴2（m－n）^2＝3,∴（m－n）^2＝3/2,∴（m＋n）^2－4mn＝3/2,
∴（3√2/2）^2－4（3b^2/4）＝3/2,
∴9/2－3b^2＝3/2,
∴b^2＝3/2－1/2＝1,
∴b＝1.