题目

椭圆焦点在x轴，离心率为

3

2

，直线y=1-x与椭圆交于M，N两点，满足OM⊥ON，求椭圆方程．

提问时间：2020-07-27

答案

设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵e=

3

2

，∴a²=4b²，即a=2b．
∴椭圆方程为

x2

4b2

+

y2

b2

=1．
把直线方程代入化简得5x²-8x+4-4b²=0．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则
x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

1

5

（4-4b²）．
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=

1

5

（1-4b²）．
由于OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
解得b²=

5

8

，a²=

5

2

．
∴椭圆方程为

2

5

x²+

8

5

y²=1．

设出椭圆的方程，然后根据题意将已知代入方程，并运用设而不求韦达定理求出参数a，b．最后写出椭圆方程．

本题考点：双曲线的应用．

考点点评：本题考查双曲线与椭圆方程的应用，根据双曲线方程，设出椭圆方程，并根据已知求解．考查了学生对双曲线以及椭圆知识的糅合，属于中档题．