题目
设函数y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,若g(x)=f(x)-2x在区间[2,3]上的值域为[-2,6],则函数g(x)在[-12,12]上的值域为( )
A. [-2,6]
B. [-20,34]
C. [-22,32]
D. [-24,28]
A. [-2,6]
B. [-20,34]
C. [-22,32]
D. [-24,28]
提问时间:2020-07-27
答案
由g(x)在区间[2,3]上的值域为[-2,6],可设g(x0)=-2,g(x1)=6,x0,x1∈[2,3],g(x0)=f(x0)-2x0=-2,
∵y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,∴g(x0+n)=f(x0+n)-2(x0+n)=f(x0)-2x0-2n=-2-2n.
同理g(x1+n)=6-2n,
12-3=9,于是g(x)在[-12,12]上的最小值是-2-2×9=-20;-12-2=-14,于是g(x)在[-12,12]上的最大值是6-2(-14)=34.
∴函数g(x)在[-12,12]上的值域为[-20,34].
故选B.
∵y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数,∴g(x0+n)=f(x0+n)-2(x0+n)=f(x0)-2x0-2n=-2-2n.
同理g(x1+n)=6-2n,
12-3=9,于是g(x)在[-12,12]上的最小值是-2-2×9=-20;-12-2=-14,于是g(x)在[-12,12]上的最大值是6-2(-14)=34.
∴函数g(x)在[-12,12]上的值域为[-20,34].
故选B.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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