题目

已知平面上的动点P(x,y)及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是k1,k2,且k1·k2=-1/4
(1)求动点P的轨迹C的方程
(2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同的两点M,N
(i)若OM⊥ON(O为坐标原点),证明点O到直线l的距离为定值,并求出这个定值
(ii)若直线BM,BN的斜率都存在并满足k(BM)·k(BN)=-1/4,证明直线l过定点,并求出这个定点

提问时间：2020-07-27

答案

由题意得
yx+2
•
yx−2
=-
14
（x≠±2）,即x²+4y²-4=0．
所以点P的轨迹C的方程为
x24
+y²=1（x≠±2）．
（2）证明：设M（x₁,y₁）,N（x₂,y₂）,
联立方程
y＝kx+mx24+y2＝1
,得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0．
所以x₁+x₂=
−8km4k2+1
,x₁x₂=
4m2−44k2+1
．
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=
m2−4k24k2+1
．
又k_BM•k_BN=-
14
,即
y1x1−2
•
y2x2−2
=-
14
,
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+4y₁y₂=0．
代入并整理得m（m+2k）=0,即m=0或m=-2k,
当m=0时,直线l恒过原点；
当m=-2k时,直线l恒过点（2,0）,但不符合题意．
所以直线l恒过原点．