题目

已知函数f（x）=-a^2x-2a^x+1（a＞1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，求a的值．

提问时间：2020-07-27

答案

（1）令t=a^x＞0，∴f（x）=g（t）=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
∵t＞0，∴函数在（0，+∞）上单调减
∴g（t）＜1
∴函数f（x）的值域为（-∞，1）
（2）∵a＞1，∴x∈[-2，1]时，t=a^x∈[a^-2，a]，
∵f（x）=g（t）=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
∴函数f（x）在[a^-2，a]上单调减
∴x=a时，函数f（x）取得最小值
∵x∈[-2，1]时，函数f（x）的最小值为-7，
∴-（a+1）²+2=-7
∴（a+1）²=9
∴a=2或-4（舍去）
所以a=2．