题目

计算二重积分

∬

D

1−x2−y2 1+x2+y2

dσ，其中D是由圆周x²+y²=1及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域．

提问时间：2020-07-27

答案

在极坐标系下计算这个二重积分，
由题意，D={(r，θ)|0≤θ≤

π

2

，0≤r≤1}．
∴

∬

D

1-x2-y2 1+x2+y2

dσ=

∫

π 2 0

dθ

∫

1 0

1-r2 1+r2

rdr
=

π

2

.

1

2

∫

1 0

1-r2 1+r2

dr2

令r2=t .

.

π

4

∫

1 0

1-t 1+t

dt
=

π

8

(π-2)．

将积分区域D写成极坐标形式，然后再计算．

本题考点：利用极坐标系计算二重积分．

考点点评：此题考查二重积分在极坐标系下的计算，是基础知识点．