题目

用单调性定义证明：函数f(x)＝

2

x

−x

提问时间：2020-07-27

答案

设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∵f(x1)＝

2

x1

−x1，f(x2)＝

2

x2

−x2…2分
∴f(x1)−f(x2)＝

2

x1

−

2

x2

+x2−x1=

2(x2−x1)

x1x2

+x2−x1=(x2−x1)(

2

x1x2

+1)…8分
又∵0＜x₁＜x₂，
∴x2−x1＞0，

2

x1x2

+1＞0∴(x2−x1)(

2

x1x2

+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
由减函数的定义知道，f(x)＝

2

x

−x在(0，+∞)上是减函数．…12分