题目

2013上海黄浦初三数学一模卷上的题目,原题无图.亲们帮个忙吧.
已知二次函数y=ax^2+bx+3的图像与x轴交于点A(1,0)与B(3,0) 交y轴于点C,其图像的顶点为D.
（1）求此二次函数的解析式.
（2）斯文三角形ABD与三角形BCO是否相似?并证明你的结论.
（3）若点P是此二次函数图像上的点,且角PAB=角ACB,试求点P的坐标.

提问时间：2020-07-26

答案

1 把A B两点代入解析式,有a+b+3=0和9a+3b+3=0,二式联立解得a=1,b=-4,所以解析式为
y=x^2-4x+3
2 相似,通过解析式可以求得C、D坐标为C（0,3）、D（2,-1）,这样三角形的所有边长就可以求出来了,验证三条对应边是否成比例即可
3 可以先算角ACB的正切,延长CA,并过B点做垂直于CA的直线与CA相交与E点,易证三角形COA与三角形BEA相似,则有CA/BA=CO/BE=OA/EA,根据勾股定理,CA=根号10,则EA=（根号10）/5,EB=6/（根号10）,角ACB正切=EB/(CA+AE)=1/2,因为角PAB=角ACB,则角PAB正切也为1/2,过A做斜率为1/2的直线与此函数交点即为P,注意应该有两个解.y=1/2x-1/2和y=-1/2x
+1/2.解为P(7/2,5/4)或P(5/2,-3/4).