题目

如果函数f（x）的定义域为{x|x∈R⁺}，且f（x）为增函数，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）证明：f（

x

y

提问时间：2020-07-26

答案

（1）∵f(x)＝f(

x

y

•y)＝f(

x

y

)+f(y)，
∴f(

x

y

)＝f(x)−f(y)；
（2）∵f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）-f（a-1）＞2，
∴f(

a

a−1

)＞2＝f(3)+f(3)＝f(9)，
∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，
∴

a

a−1

＞9解得a＜

9

8

，
又a＞0，a-1＞0，
∴1＜a＜

9

8

，
∴a的取值范围是1＜a＜

9

8

．