题目

已知函数f(x)=log以2为底（1+x/1-x)的对数,g(x)=log以根号2为底（1+x/k）的对数
当k=2时,解不等式f(x)大于等于g(x)
若x属于[1/3,1/2]时,f(x)小于等于g(x)恒成立,求实数k的取值范围

提问时间：2020-07-26

答案

已知函数f(x)=log₂[(1+x)/(1-x)],g(x)=log₂[(1+x)/k]；当k=2时,解不等式f(x)≧g(x)；
若x∊ [1/3,1/2]时,f(x)≦g(x)恒成立,求实数k的取值范围.
(1).log₂[(1+x)/(1-x)]≧log₂[(1+x)/2]
即有(1+x)/(1-x)≧(1+x)/2
(1+x)/(1-x)-(1+x)/2=[2(1+x)-(1+x)(1-x)]/[2(1-x)]=(x+1)²/[2(1-x)]≧0
即(x+1)²/(x-1)≦0,故得x0恒成立,故要式不等式(1)在[1/3,1/2]上恒成立,只需
f(x)=(x²+kx+k-1)/k=[(x+k/2)²-k²/4+k-1]/k≦0
当对称轴x=-k/2≦1/3,-k≦2/3,即k≧-2/3时,要使(1)成立,只需f(1/2)=[(1/2+k/2)²-k²/4+k-1]/k
=(3k/2-3/4)/k=(6k-3)/(4k)=6(k-1/2)/(4k)≦0,故得0