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题目
过定点(1,2)作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切,则k的取值范围是(  )
A. k>2
B. -3<k<2
C. k<-3或k>2
D. (−
8
3
3
,−3)∪(2,
8
3
3
)

提问时间:2020-07-26

答案
把圆的方程化为标准方程得:(x+
1
2
k)2+(y+1)2=16-
3
4
k2
所以16-
3
4
k2>0,解得:-
8
3
3
<k<
8
3
3

又点(1,2)应在已知圆的外部,
把点代入圆方程得:1+4+k+4+k2-15>0,即(k-2)(k+3)>0,
解得:k>2或k<-3,
则实数k的取值范围是(-
8
3
3
,-3)∪(2,
8
3
3
).
故选D
把圆的方程化为标准方程后,根据构成圆的条件得到等号右边的式子大于0,列出关于k的不等式,求出不等式的解集,然后由过已知点总可以作圆的两条切线,得到点在圆外,故把点的坐标代入圆的方程中得到一个关系式,让其大于0列出关于k的不等式,求出不等式的解集,综上,求出两解集的交集即为实数k的取值范围.

直线与圆的位置关系.

此题考查了点与圆的位置关系,二元二次方程为圆的条件及一元二次不等式的解法.理解过已知点总利用作圆的两条切线,得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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