题目
光滑的长轨道形状如图所示,底部为半圆型,半径为R,固定在竖直平面内.AB两质量相同的小环用长为R的轻杆连接在一起,套在轨道上.将AB两环从图示位置静止释放,A环离开底部2R.不考虑轻杆和轨道的接触,即忽略系统机械能的损失,求:
(1)AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力.
(2)A环到达最低点时,两环速度大小.
(3)若将杆换成长2
R,A环仍从离开底部2R处静止释放,经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度.
(1)AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力.
(2)A环到达最低点时,两环速度大小.
(3)若将杆换成长2
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提问时间:2020-07-26
答案
(1)对整体分析,自由落体,加速度g,以A为研究对象,A作自由落体则杆对A一定没有作用力.即F=0
故AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力为零.
(2)AB都进入圆轨道后,两环具有相同角速度,则两环速度大小一定相等,即VA=VB
对整体依机械能守恒定律,有:mg•2R+mg•
R=
•2mv2
解得
v=
故A环到达最低点时,两环速度大小均为
.
(3)由于杆长超过了半圆直径,故最后A环在下,如图;
设A再次上升后,位置比原来高h,如下图所示.
由机械能守恒,有:-mgh+mg(2
R-2R-h)=0
解得h=(
-1)R,故A离开底部(
+1)R
故若将杆换成长2
R,A环仍从离开底部2R处静止释放,经过半圆型底部再次上升后离开底部的最大高度为(
+1)R.
故AB两环都未进入半圆型底部前,杆上的作用力为零.
(2)AB都进入圆轨道后,两环具有相同角速度,则两环速度大小一定相等,即VA=VB
对整体依机械能守恒定律,有:mg•2R+mg•
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解得
v=
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故A环到达最低点时,两环速度大小均为
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(3)由于杆长超过了半圆直径,故最后A环在下,如图;
设A再次上升后,位置比原来高h,如下图所示.
由机械能守恒,有:-mgh+mg(2
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解得h=(
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故若将杆换成长2
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(1)两个环以及连杆整体自由下落,处于完全失重状态,故杆上弹力为零;
(2)A环到达最低点时,两环具有相同角速度,则两环速度大小一定相等;根据几何关系找到B环的位置,然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度;
(3)由于杆长超过了半圆直径,故A环一直在下方,速度为零时,结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度.
(2)A环到达最低点时,两环具有相同角速度,则两环速度大小一定相等;根据几何关系找到B环的位置,然后根据机械能守恒定律列式求解出各自的速度;
(3)由于杆长超过了半圆直径,故A环一直在下方,速度为零时,结合几何关系并根据机械能守恒定律列方程求解即可求解出高度.
机械能守恒定律;自由落体运动.
本题关键是根据几何关系多次得到环的具体位置,然后根据机械能守恒定律列方程求解即可.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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