题目

求函数f(x)=（sinθ－1）／（cosθ－2）的最大值和最小值
f(θ）

提问时间：2020-07-26

答案

法一:换元法
三角变换/换元法/判别式法
f(θ)=（sinθ－1）／（cosθ－2）.
sinθ-1
=2sinθ/2 cosθ/2-sin^2 θ/2-cos^2 θ/2 .①
cosθ-2
=-(1-cosθ)-1
=-2sin^2 θ/2-sin^2 θ/2-cos^2 θ/2 .②
令t=tanθ/2,t∈R.
①÷②,并且分子,分母同时除以cos^2 θ/2,有
y=f(θ)=(-t^2+2t-1)/(-3t^2+1)
去分母
(1-3y)t^2-2t+1-y=0
△=4-4(1-3y)(1-y)≥0
解得
0≤y≤4/3.
∴f(θ)最大值=4/3,最小值=0.
温馨提示：
也可以用万能代换
设t=tanθ/2,
则sinθ=2t/(1+t^2),
cosθ=(1-t^2)/(1+t^2),
tanθ=2t/(1-t^2).
法二.几何法
由斜率公式
把k=f(θ)=（sinθ－1）／（cosθ－2）看成单位圆上的动点P(cosθ,sinθ)与定点A(2,1)连线的斜率.
问题转化为求k(AP)的最值.
由平面几何知,
从点A向单位圆引两条切线,其斜率为所求.
设切线方程
y-1=k(x-2)
到圆心(原点)距离为1,
解得
k=0或4/3.
∴f(θ)最大值=4/3,最小值=0.