题目

平面内,四条线段AB、BC、CD、DA首尾顺次相接,∠ABC =24°,∠ADC = 42°.
⑴∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1）,求∠AMC的大小；
⑵ 点E在BA的延长线上,∠DAE的平分线和∠BCD的平分线交于点N（如图2）,则∠ANC =______.

提问时间：2020-07-26

答案

分析：（1）根据题意,设∠CFD=x°,可求得∠BCD的值,CM平分∠BCD,则可得∠BCM的值,同理求出∠BAM的值,由三角形的内角和定理,结合角的运算,易求∠AMC．
（2）根据角的运算,可求得∠ANC的值,由三角形的内角和定理,易求∠ANC．
（1）如图1,设AD与BC交于点F,BC与AM交于P,AD与CM交于Q,设∠CFD=x°,则∠AFB=∠CFD=x度,
△CFD中∠BCD=180-∠ADC-∠CFD=180-42-x=138-x,
∵CM平分∠BCD得到：
∠BCM= 1/2∠BCD=69- 1/2x,
同理：∠BAM=∠MAD=78- 1/2x,
在△ABP中利用三角形内角和定理得到：
∠APB=180-24-（78- 1/2x）=78+ 1/2x,
则∠CPM=∠APB=180-24-（78- 1/2x）=78+ 1/2x,
在△CPM中三内角的和是180°,
即：（69- 1/2x）+（78+ 1/2x）+∠AMC=180,
则∠AMC=33°；
（2）设AD、BC交于点F,
∠EAD=∠B+∠AFB=24+x,则∠EAN=12+ 1/2x,
则∠ANC= 1/2x-12,
又∵∠BCN=69- 1/2x,
设AN与BC交于点R,（见图2）
在△CNR中利用三角形内角和定理：
（ 1/2x-12）+（69- 1/2x）+∠ANC=180,
解得∠ANC=123°．