题目

数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得a_n+S_n=An²+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0．

提问时间：2020-07-26

答案

因为{a_n}为等差数列，设公差为d，由a_n+S_n=An²+Bn+C，
得a₁+（n-1）d+na₁+

1

2

n（n-1）d=a_n+S_n=An²+Bn+C，…（2分）
即（

1

2

d-A）n²+（a₁+

d

2

-B）n+（a₁-d-C）=0对任意正整数n都成立．…（4分）
所以

1 2 d−A＝0 a1+ 1 2 d−B＝0 a1−d−C＝0

，∴A=

1

2

d，B=a₁+

1

2

d，C=a₁-d，
所以3A-B+C=0．       …（10分）

已知数列{a_n}为等差数列设公差为d，根据数列通项公式，可前n项和公式代入a_n+S_n=An²+Bn+C，可以求出A、B、C，再进行证明；

本题考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．

考点点评：此题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，是一道基础题，解题过程中用到了待定系数法；