题目

不等式证明x1≥x2≥x3≥...≥xn>0,0x1≥x2≥x3≥...≥xn>0,0提问时间：2020-07-26

答案

首先有排序不等式:
若a[1] ≥ a[2] ≥... ≥ a[n], b[1] ≥ b[2] ≥...≥ b[n],
则a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[i[1]]+a[2]·b[i[2]]+...+a[n]·b[i[n]].
其中i[1], i[2],..., i[n]是1, 2,..., n的任意一个排列.
在排序不等式中依次取i[1], i[2],..., i[n]为1, 2,..., n的轮换, 有:
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n],
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[2]+a[2]·b[3]+...+a[n]·b[1],
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[3]+a[2]·b[4]+...+a[n]·b[2],
...
a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n] ≥ a[1]·b[n]+a[2]·b[1]+...+a[n]·b[n-1].
相加得n(a[1]·b[1]+a[2]·b[2]+...+a[n]·b[n]) ≥ (a[1]+a[2]+...+a[n])(b[1]+b[2]+...+b[n]).
即得到Chebyshev(切比雪夫)总和不等式.
对本题取a[k] = x[k], b[k] = 1/y[k], 其中k = 1, 2,..., n.
可知满足上述不等式的条件.
于是n(x[1]/y[1]+x[2]/y[2]+...+x[n]/y[n]) ≥ (x[1]+x[2]+...+x[n])(1/y[1]+1/y[2]+...+1/y[n]).
再由y[k] ≥ 0, 根据Cauchy不等式(也可用Chebyshev总和不等式的逆序和一侧):
(y[1]+y[2]+...+y[n])(1/y[1]+1/y[2]+...+1/y[n]) ≥ n².
即有(1/y[1]+1/y[2]+...+1/y[n]) ≥ n²/(y[1]+y[2]+...+y[n]).
又x[1]+x[2]+...+x[n] ≥ 0, 故
n(x[1]/y[1]+x[2]/y[2]+...+x[n]/y[n]) ≥ (x[1]+x[2]+...+x[n])·n²/(y[1]+y[2]+...+y[n]).
即(x[1]/y[1]+x[2]/y[2]+...+x[n]/y[n]) ≥ n(x[1]+x[2]+...+x[n])/(y[1]+y[2]+...+y[n]).