题目

△ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B=______．

提问时间：2020-07-26

答案

∵△ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中项，
又是sinA，sinC的等比中项，
∴

sinA+sinC＝2sinB sinA•sinC＝sin2B

，
∴4sin²B=（sinA+sinC）²
即：4sinA•sinC=（sinA+sinC）²
（sinA+sinC）²-4sinA•sinC=0
（sinA-sinC）²=0
∴sinA=sinC
∴2sinB=2sinA=2sinC
∴sinB=sinA=sinC
∴a=b=c
∴∠B=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

由题设知

sinA+sinC＝2sinB sinA•sinC＝sin2B

，由此推导出sinB=sinA=sinC，从而能求出∠B=

π

3

．

本题考点：等比数列的性质；等差数列的性质．

考点点评：本题考查角的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等差数列、等比数列的性质的灵活运用．