题目
点P是△ABC内一点,PG是BC的垂直平分线,∠PBC=
∠A,BP、CP的延长线交AC、AB于D、E,求证:BE=CD.
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提问时间:2020-07-26
答案
证明:作BF⊥CE于F点,CM⊥BD于M点
则∠PFB=∠PMC=90°.
∵PG是BC的垂直平分线,∴PB=PC.
在△PBF和△PCM中,
,
∴△PBF≌△PCM(AAS),
∴BF=CM;
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB=
∠BPE.
∵∠PBC=
∠A,
∴∠A=∠BPE.
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,
∴∠AEP+∠ADP=180°.
又∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,
∴∠BEF=∠CDM.
在△BEF和△CDM中,
,
∴△BEF≌△CDM(AAS).
∴BE=CD.
则∠PFB=∠PMC=90°.
∵PG是BC的垂直平分线,∴PB=PC.
在△PBF和△PCM中,
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∴△PBF≌△PCM(AAS),
∴BF=CM;
∵PB=PC,
∴∠PBC=∠PCB=
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∵∠PBC=
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∴∠A=∠BPE.
∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,
∴∠AEP+∠ADP=180°.
又∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,
∴∠BEF=∠CDM.
在△BEF和△CDM中,
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∴△BEF≌△CDM(AAS).
∴BE=CD.
作BF⊥CE于F点,CM⊥BD于M点.证明Rt△BEF≌Rt△CDM.易证Rt△PBF≌Rt△PCM,得到BF=CM;由于∠A=∠BPE,在四边形ADPE中,根据内角和定理可得∠BEF=∠CDM,所以Rt△BEF≌Rt△CDM.得证.
线段垂直平分线的性质.
此题考查了垂直平分线性质、全等三角形的判定和性质等知识点,如何构造全等三角形是难点.
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