题目

已知a＞0，a≠1，函数f(x)=

ax(x≤1) -x+a(x＞1)

若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大

5

2

，则a的值为 ___ ．

提问时间：2020-07-26

答案

①当0＜a＜1时，可得在[0，1]上，f（x）=ax是减函数；且在（1，2]上，f（x）=-x+a是减函数∵f（0）=a0=1＞-1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=-2+a＜-1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=-2+a因此，-2+a+5...

分0＜a＜1和a＞1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，解之即得满足条件的实数a的值．

本题考点：函数最值的应用．

考点点评：本题给出含有字母a的分段函数，在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数a的值，着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识，考查了转化化归和分类讨论的数学思想，属于中档题．