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题目
若方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,则实数k的取值范围为______.

提问时间:2020-07-26

答案
若k=0,则lg(kx)无意义,此时方程lg(kx)=2lg(x+1)无实根;
若k>0,则方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,即
kx=(x+1)2只有一个正根,
2−k<0
(2−k)2−4=0

解得:a=4
若k<0,由于方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,
分别作出函数y=lg(kx)和y=2lg(x+1)的图象,它们始终有一个交点,
∴方程lg(kx)=2lg(x+1)只有一个实数解,
∴k<0符合题意.
综上满足条件的实数k的范围k<0或k=4.
故答案为:k<0或k=4.
由于k出现在真数位置,故我们可以对k分大于0,等于0,小于0三种情况进行讨论,然后利用对数函数的运算性质,将问题转化为整式方程根的个数问题,结合韦达定理及图解法,即可得到结论.

根的存在性及根的个数判断.

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中利用对数函数的运算性质,将问题转化为整式方程根的个数问题,是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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