题目
5.求证:等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
5.求证:等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
5.求证:等轴双曲线上任一点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
提问时间:2020-07-26
答案
证明:
因为证明焦点在x轴上的等轴双曲线和在y轴上的等轴双曲线证法相同,不妨设双曲线为x²-y²=a²
又因为证明此点在左支上或者右支上的方法相同,所以不妨设P(x,y)在右支上
∴b=a,c=√(a²+b²)=√2a
左准线:x=-a²/c=-a/√2,右准线:x=a²/c=a/√2
设P点到左焦点的距离为m,到右焦点的距离为n
根据双曲线定义:到定点距离与到定直线距离的比为一个常数e,且这个常数e大于1的点的集合为双曲线.
所以m/(x+a/√2)=e,n/(x-a/√2)=e,∴m=(x+a/√2)e,n=(x-a/√2)e
e=c/a=√2
∴mn=(x²-a²/2)e²=2x²-a²
又∵P到原点的距离的平方为:x²+y²=x²+(x²-a²)=2x²-a²=mn
∴P点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
因为证明焦点在x轴上的等轴双曲线和在y轴上的等轴双曲线证法相同,不妨设双曲线为x²-y²=a²
又因为证明此点在左支上或者右支上的方法相同,所以不妨设P(x,y)在右支上
∴b=a,c=√(a²+b²)=√2a
左准线:x=-a²/c=-a/√2,右准线:x=a²/c=a/√2
设P点到左焦点的距离为m,到右焦点的距离为n
根据双曲线定义:到定点距离与到定直线距离的比为一个常数e,且这个常数e大于1的点的集合为双曲线.
所以m/(x+a/√2)=e,n/(x-a/√2)=e,∴m=(x+a/√2)e,n=(x-a/√2)e
e=c/a=√2
∴mn=(x²-a²/2)e²=2x²-a²
又∵P到原点的距离的平方为:x²+y²=x²+(x²-a²)=2x²-a²=mn
∴P点到双曲线中心的距离是它到两焦点距离的等比中项
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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