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题目
设X、Y是相互独立的随机变量,分别服从参数为λ1、λ2的泊松分布,怎样证明Z=X+Y服从λ1+λ2的泊松分布?

提问时间:2020-07-25

答案
X~π(a) Y~π(b)
π(a) π(b)为柏松分布
则P{X=k} = (a^k)e^(-a)/k! P{Y=m} = (b^m)e^(-b)/m!
k,m=0,1,2.
因为X,Y相互独立
则他们的联合分布P{X=k,Y=m}=P{X=k} P{Y=m}
P{X+Y=n}=∑P{X=i,Y=n-i} i=0,1,2,...,n
=∑P{X=i}P{Y=n-i}=∑[(a^i)e^(-a)/i! ][(b^(n-i))e^(-b)/(n-i)!]
=(e^(-a-b)b^n)∑(a/b)^i/(i!(n-i)!)=[(e^(-a-b)b^n)/n!]∑(a/b)^i*[n!/(i!(n-i)!)]
注意到求和符号后的的每一项其实是(1+a/b)^n的二项式展开
所以原式=(e^(-a-b)b^n/n!)*(1+a/b)^n=(e^(-a-b)(b+a)^n)/n!
所以X+Y~π(a+b)
证毕
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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