题目

已知一个球的半径为R,一个圆锥的高等于这个球的直径,表面积等于这个球的表面积,球这个圆锥的体积
如题,这是证明题,要过程,要详细.
还有一道题拜托一下：已知p是ΔABC所在平面外一点,PA,PB,PC两两互相垂直,PH⊥平面ABC,求证：H是ΔABC的垂心
（这也是证明题,要详细啊～）
啊～～我会第二题了～～
拜托就帮我写一下第一题就好了～～～
谢谢你们了～～～￥_￥

提问时间：2020-07-25

答案

球的表面积D球=4r^2*圆周率,（我搞错了,自己设球的半径为r.）
设圆锥侧面高为l,圆锥底面的圆半径为R.
则圆锥的侧面积D锥侧=圆锥率*l^2*R/l=圆锥率*Rl.
于是圆锥表面积D锥=圆周率*R^2+圆周率*R*l,
其中圆锥侧高l=根号[圆锥高的平方+底面半径的平方]
=根号[(2r)^2+R^2]
因为D球=D锥,
所以4r^2=R^2+lR=R^2+R*根号[4r^2+R^2]
经整理,得：r^2=3R^2/4
锥体积G=1/3*圆锥底面积*圆锥的高
=圆周率*R^2*(2*r)/3
=(8/9)*r^3*圆周率.
受永远的花开不败启发,几何题证明如下：因为PA,PB,PC两两互相垂直.即
因为面APB垂直于CP, 所以面APB垂直于面CPH,即CH垂直于AB.同理.
………APC………BP,………APC…………BPH,…BH………AC.
所以点H是三角形的垂心.