题目

设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)设g(x)=f(x)-1/x,在[1,+∞）上单调递增,求a
取值范围（3）当a≠0时,求f(x)的单调区间.

提问时间：2020-07-25

答案

(1)
a=0时
f(x)=2lnx+1/x
求导f'(x)=(2/x) -(1/x^2)
将导函数通分f'(x)=2x-1/x^2
令f'(x)=0求得极值点x=1/2
f(1/2)=2-2ln2
（2）g(x）=（2-a)lnx+1/x+2ax-1/X
g(x)=(2-a)lnx+2ax
现在对g(x)求导
g'(x)=(2-a)/x +2a
依题意,若是在大于等于1上递增的话,那么翻译过来就是
g'(x)=(2-a)/x+2a≥0在【1,正无穷】上恒成立.
整理一下得到
2ax≥a-2
分类讨论
当a＞0时
x＞a-2/2a即a-2/2a＜1
解得a＞0
当a＜0时,导函数在(1,正无穷）上总会取到负值,所以不成立
当a=0时
0＞-2恒成立
综上,a∈[0,正无穷）
（3）
f'(x）=（2-a）/x -1/x^2 +2a
整理得f‘（x)=【2ax^2+(2-a)x-1】/X^2
对分子讨论即可
时刻谨记x＞0
当a＞0时
（0,1/2)上减函数
（1/2,正无穷）上增函数
当a＜-2时,1/2＞-1/a
（0,-1/a)上减函数
（-1/a,1/2）上增函数
（1/2,正无穷）上减函数
当-2＜a＜0时,1/2＜-1/a
（0,1/2）上减函数
（1/2,-1/a)上增函数
（-1/a,正无穷）上减函数
当a=0时
在(0,正无穷）上减函数