题目

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n项和S

提问时间：2020-07-25

答案

（Ⅰ）：证明：∵Sn＝

1

2

(n+1)(an+1)−1，∴Sn+1＝

1

2

(n+2)(an+1+1)−1
∴an+1＝Sn+1−Sn＝

1

2

[(n+2)(an+1+1)−(n+1)(an+1)]
整理，得na_n+1=（n+1）a_n-1①
∴（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1②
②-①得：（n+1）a_n+2-na_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n
即（n+1）a_n+2-2（n+1）a_n+1+（n+1）a_n=0∴a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n∴数列{a_n}是等差数列
（II）∵a₁=3，na_n+1=（n+1）a_n-1，
∴a₂=2a₁-1=5∴a₂-a₁=2，
即等差数列{a_n}的公差为2，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n+1，（n∈N^*）