题目

已知椭圆C的方程为x^2+y^2/2=1,点P（a,b）满足a^2+b^2/2<1
已知椭圆C的方程为x^2+y^2/2=1,点P(a,b)满足a^2+b^2/2<1,过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点,Q为AB的中点,求点Q的轨迹方程.

提问时间：2020-07-25

答案

首先,设过点P的直线为
Y=K（X-a)+b=KX+b-Ka
然后,求此直线与椭圆C的交点,把上面的表达式代入椭圆的方程即可.如下:
x^2+(KX+b-Ka)^2/2=1
整理得
（K^2+2）x^2+2K（b-Ka)X+(b-Ka)^2-2=0
设A点的坐标为（X1,Y1）,B点的坐标为（X2,Y2）,Q点的坐标为（S,T）,那么有(据根与系数的关系,即韦达定理,再据线段中点的公式）:
2S=X1+X2=2K（Ka-b)/（K^2+2）,
2T=Y1+Y2=(KX1+b-Ka)+(KX2+b-Ka)
=K(X1+X2)+2(b-Ka)
=2K^2（Ka-b)/（K^2+2）+2(b-Ka)
到此,问题实际上已经结束.把上面两式中的系数2消掉,再把S、T换成X、Y,就得到了点Q的轨迹方程（参数形式,K即是参数,没学过参数方程的人可能理解不了,可在网上查一下参数方程）,即
X=K（Ka-b)/（K^2+2）,
Y=K^2（Ka-b)/（K^2+2）+(b-Ka).解完.