题目

设定义在r上的函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d同时满足下列三个条件
设定义在R上的函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d同时满足下列三个条件
1.函数y=f(x-2)的图像关于（2,0）对称
2.函数f(x)的图像过p(-3,6)
3.函数f(x)在x1,x2处取得极值,且|x1-x2|=4
求f(x)表达式

提问时间：2020-07-25

答案

令t=x-2,则y=f(t)关于（0,0）对称
所以y=f(x)是奇函数(自变量用x还是t关系不大)
又f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
=（ax^3+cx）+(bx^2+d)
是一个奇函数与一个偶函数的和,而结果是奇函数,所以b=d=0
f(x)=ax^3+cx
把p(-3,6)带进上式得,9a+c=-2,(1)
又该函数有极值,其导数为0,所以f'(x)=3ax^2+c=0,得x1、2=±(-c/3a)^0.5
又|x1-x2|=4,
由上面两式联立得-c=12a,(2)
解得a=2/3,c=-8
所以f(x)=2/3x^3-8x.
关于奇函数和偶函数和的求证：F(X)=f(x)+g(x),
如果F(X)和f(x)都是奇函数,g(x)是偶函数,则g(x)=0
因为：F(-x)=-f(x)+g(x)=-f(x)-g(x),
所以g(x)=0.
不知道你们导数有没有教过,用初等函数求极值是比较困难的.