题目

已知等轴双曲线X的平方-Y的平方=A的平方及其上一 点P 求证:P到它两个焦点距离的积等于P到双曲线的中心距离

提问时间：2020-07-25

答案

设左焦点为F1,右焦点为F2,双曲线的中心为O(坐标轴原点),则a＝A,b＝A,C＝√2A
在△PF1F2中,OP为F1F2的中线,由中线定理得：
PF1^2＋PF2^2＝2OP^2＋2OF1^2＝2OP^2＋4A^2 ①
又由双曲线的定义知：
|PF1－PF2|＝2A
(PF1－PF2)^2＝4A^2
PF1^2＋PF2^2－2PF1·PF2＝4A^2 ②
把①代入②得：
2OP^2＋4A^2－2PF1·PF2＝4A^2
化简即得结论：
PF1*PF2=OP^2