题目

1.如图,三角形ABC中,AD是角BAC的角平分线,DE//AC,交AB于E,DF//AB交AC于F,求证：四边形AEDF是菱形.
2.在四边形ABCD中,角A的平分线与BC边相交于点E,角B的平分线与AD相交于点F,AE与BF相交于O,求证：四边形ABEF是菱形
3.如图,在菱形ABCD中,AE=BF=CG=DH.求证：EFGH是菱形
4.如图,在RT三角形ABC中,角BAC=90度,AH垂直于BC,BD平分角ABC,AH交BD于E,DF垂直于BC于F,求证：四边形AEFD是菱形.

提问时间：2020-07-25

答案

1.证明：
∵DE//AC,DF//AB
所以 四边形AEDF为平行四边形,并且 ∠ADE = ∠DAF,
所以 AE = DF,AF = DE（平行四边形对边相等）
又因为 AD是角BAC的角平分线
所以 ∠DAF = ∠DAE
所以 ∠ADE = ∠DAE
所以 AE = DE
所以 AE = DF = AF = DE
所以是菱形
2.
证明：因为ABCD是平行四边形
所以 AD//BC
所以 ∠FAE = ∠AEB
因为 ∠FAE = ∠BAE
所以 ∠AEB = ∠BAE
所以 AB = BE
同理 AF = AB
所以 AF = BE
所以 ABEF是平行四边形,因为 AB = BE,所以是菱形
3.证明：
因为 菱形ABCD,所以AB = BC = CD = AD,角A = 角C
因为 AE=BF=CG=DH
所以 BE = CF = DG = AH
所以 三角形AEH 全等于 三角形CGF（边角边）
所以 EH = FG,同理 EF = HG
所以 HEFG是平行四边形
连接 BD EG,交于点O
所以 三角形BEO 全等于 三角形 DGO
所以 EO = DO
同理 HO = FO
所以 O 是 EHGF对角线交点
4.证明：因为∠ABD = ∠FDB, ∠BAD = ∠BFD=90度,BD = BD
所以 三角形ABD 全等于 三角形 FBD
所以 AD = DF
因为 AE//DF,
所以 ∠BEH = ∠BDF
因为 ∠BEH = ∠AED , ∠BDF = ∠ADB
所以 ∠AED= ∠ADB
所以 AE = AD
所以 AE = DF,所以为平行四边形
又因为邻边相等,所以是菱形.