题目

x^n+1在实数域和复数域上如何因式分解

提问时间：2020-07-25

答案

实数范围：当n为4的倍数时,可分解,当n是2的倍数不是4的倍数时,不能分解,n为奇数时可分解
n为奇数时 x^n+1
=(x+1)[x^(n-1)-x^(n-2)+x^(n-3)+……-x+1]
n为4的倍数时设n=4m
x^n+1=x^4m+1=(x^2m+1)^2-2x^2m=(x^2m+1-√2x^m)(x^2m+1+√2x^m)
=(x^2m-√2x^m+1)(x^2m+√2x^m+1)
在复数范围内,当n为奇数时
x^n+1
=(x+1)(x-x1)(x-x2)……[x-x(n-1)]
其中
x1=cos(π/n)+isin(π/n)
x2=cos(3π/n)+isin(3π/n)
……
x(n-1)=cos{[2(n-1)-1]π/n}+isin{[2(n-1)-1]π/n}
=cos[(2n-3)π/n]+isin[(2n-3)π/n]
在复数范围内,当n为偶数时
x^n+1
=(x-x1)(x-x2)……(x-xn)
其中
x1=cos(π/n)+isin(π/n)
x2=cos(3π/n)+isin(3π/n)
……
xn=cos[(2n-1)π/n]+isin[(2n-1)π/n]