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题目
已知抛物线方程为y2=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点,O为坐标原点,若OM⊥ON,求直线l的方程.

提问时间:2020-07-25

答案
设直线l的方程为y=kx+2(1分)
y2=2x
y=kx+2
消去x得:ky2-2y+4=0(3分)
∵直线l与抛物线相交
k≠0
△=4−16k>0
⇒k<
1
4
 且 k≠0
(5分)
设M(x1,y1)、N(x2,y2),则y1y2
4
k
(6分)
从而x1x2
y
2
1
2
 • 
y
2
2
2
4
k2
(8分)
∵OM⊥ON∴x1x2+y1y2=0(10分)
即 解得k=-1符合题意
∴直线l的方程为y=-x+2(12分)
将直线方程代入抛物线方程,利用OM⊥ON,转化为x1x2+y1y2=0,从而可求k的值,进而可求直线l的方程.

直线与圆锥曲线的关系.

本题以抛物线为载体,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生分析解决问题的能力.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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