题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，点F为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a>b>0)的左焦点，M，N在椭圆C上，若四边形OFMN是菱形，则椭圆C的离心率是______．

提问时间：2020-07-24

答案

由题意知菱形的边长为c，由椭圆的对称性知N点的横坐标为

c

2

，由于ON=c，故

c2

4

+y²=c²，解得点N的纵坐标为

3

2

c，则NF=

( 3 c 2 )2+( c 2 +c)2

=

3

c
又由椭圆的对称性知点N到右焦点的距离是c，由椭圆的定义知2a=c+

3

c，故得e=

2

1+ 3

=

3

-1
故答案为：

3

-1

由题设中的条件及椭圆的对称性知菱形的边长为c，N点的横坐标为

c

2

，代入椭圆的方程可以求得其纵坐标，再利用ON=c建立方程整理即可得到椭圆的离心率

本题考点：椭圆的简单性质．

考点点评：本题考查椭圆的简单性质，解题的关键是根据椭圆的图形的对称性得出点N的坐标，求出点N到两个焦点的距离，由椭圆的定义建立方程整理即可求出椭圆的离心率．本题解题方法唯一，利用题设条及椭圆的对称性判断出点N的坐标比较抽象，做题时要注意数结合，探究规律．