题目

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a=

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，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．

提问时间：2020-07-24

答案

（1）证明：∵△=[-（2k+1）]2-4×1×（4k-3）=4k2-12k+13=（2k-3）2+4，∴无论k取什么实数值，总有=（2k-3）2+4＞0，即△＞0，∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2） ∵两条直角边的长b和c恰好...

（1）根据根的判别式的符号来证明；
（2）根据韦达定理得到b+c=2k+1，bc=4k-3．又在直角△ABC中，根据勾股定理，得（b+c）²-2bc=（

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）²，由此可以求得k的值．

本题考点：根的判别式．

考点点评：本题考查了根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．