题目

已知函数f(x)=2/x-1 （1）判断f（x）在（0,+∞）上的单调性并加以证明； （2）求f（x）的定义域、值域；
已知函数f(x)=2x-2/x 证明f(X)在（0,正无穷大上）为增函数
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提问时间：2020-07-24

答案

f(x) = 2/x - 1
∵x在定义域内单调增,∴f(x) = 2/x - 1在定义域内单调减
证明：
令0＜x1＜x2
f(x2)-f(x1) = （2/x2 - 1）-（ 2/x1 - 1）
= 2/x2 - 2/x1
= 2(x1-x2)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2
∴x1-x2＜0,x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1) =2(x1-x2)/(x1x2)＜0
,∴f（x）在（0,+∞）上单调减
分母不为零：x≠0
定义域：（-∞,0）U（0,+∞）
x≠0,∴y≠-1
值域（-∞,-1）U（-1,+∞）
f(x) = 2x - 2/x
令0＜x1＜x2
f(x2)-f(x1) = （2x2 - 2/x2）-（2x1 - 2/x1）
= 2(x2-x1)+2(1/x1-1/x2)
=2(x2-x1)+2(x2-x1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2
∴∴x2-x1＞0,x1x2＞0
∴f(x2)-f(x1) =2(x2-x1)+2(x2-x1)/(x1x2)＞0
∴f（x）在（0,+∞）上单调增