题目

已知随机变量X,Y分别服从N(1,9),N(0,16),它们的相关系数ρxy,=-1/2,Z=X/3+Y/2,试求：
ρxz,
我算出ρxz=5,因为我是这样计算的：
D(Z)=D(X/3+Y/2)=D(X)/9+D(Y)/4=5,
但是参考答案上写的是：
D(Z)=D(X)/9+D(Y)/4+2*Cov(X,Y)/6=3
我想知道为什么最后还要加上 2*Cov(X,Y)/6

提问时间：2020-07-24

答案

因为书上定义：D(ax+by)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2*abCov(X,Y)
Cov(X,Y)为协方差
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
只有当 X,Y不相关时Cov(X,Y)等于零
而你上面的题目没有X,Y不相关这个已知,所以D(Z)=D(X)/9+D(Y)/4+2*Cov(X,Y)/6